[ Wikipedia ] Scientific notation (한글 번역본)

위키피디어의 Scientific notation을 번역한 내용으로, 구글 번역기를 사용한 후에 제가 이해한 범위 안에서 다시 다듬은 것입니다.

Scientific notation (also referred to as scientific form or standard index form, or standard form in the UK) is a way of expressing numbers that are too big or too small to be conveniently written in decimal form.
It is commonly used by scientists, mathematicians and engineers, in part because it can simplify certain arithmetic operations.
On scientific calculators it is usually known as "SCI" display mode.

(과학 형식 또는 표준 색인 양식, 표준 양식이라고도 하는) 과학적인 표기법은
십진법으로 표시하기에는 너무 크거나 너무 작은 숫자를 표현하는 방법 중의 하나이다.
계산식을 간략하게 표현할 수 있어서, 과학자나 수학자 또는 엔지니어들이 주로 사용한다.
공학용 계산기에서는 일반적으로 "SCI" 모드로 알려져 있다.

In scientific notation all numbers are written in the form 과학적 표기법에서는 숫자들이 아래와 같은 형식으로 표시된다. m × 10n (m times ten raised to the power of n), where the exponent n is an integer, and the coefficient m is any real number, called the significand or mantissa. However, the term "mantissa" may cause confusion because it is the name of the fractional part of the common logarithm. If the number is negative then a minus sign precedes m (as in ordinary decimal notation). In normalized notation, the exponent is chosen so that the absolute value of the coefficient is at least one but less than ten.

십진수 표기법 과학적 표기법 2 2 × 100 300 3 × 102 4,321.768 4.321768 × 103 -53,000 -5.3 × 104 6,720,000,000 -6.72 × 109 0.2 2 × 10-1 0.000 000 007 51 7.51 × 10-9

(숫자 m에다가 10ⁿ을 곱함). 지수 n은 정수이고, (유효 숫자 또는 가수라고도 하는) 계수 m은 임의의 실수이다.
그러나 여기서 "가수(mantissa)"라는 용어는 상용 로그에서 소수 부분을 가리키는 명칭이기 때문에 자칫 헷갈릴 수도 있다.
(일반적인 십진수 표기법에서와 같이) 숫자가 음수일 때에는 마이너스 기호가 m 앞에 온다.
정규화된 표기법(normalized notation)에서, 지수는 계수의 절대값이 1 이상 10 미만이 되도록 선택된다.

※ 정규화 (normalization)
어떤 수의 부동 소수점 표시를 표준 형식으로 바꾸는 것.
부동소수점 수는 하나의 값을 여러 가지 표현으로 나타낼 수 있다.
그러나 표현 형식이 각각 다른 부동소수점 수가 여러 개 있으면, 두 수를 비교하거나 할 때 지장이 초래되기 때문에
부동소수점 수를 표현할 때의 규격이 메이커나 업계에 따라 정해져 있다.
그러한 규격에 따라 실제의 값은 그대로 유지한 채 그 수의 표현만을 바꿔주는 것이 부동소수점 수의 정규화이다.
출처 - 네이버 지식백과

Decimal floating point is a computer arithmetic system closely related to scientific notation.

십진수 부동 소수점은 이러한 과학 표기법과 밀접한 관련이 있는 컴퓨터 연산 시스템이다.

Contents

• 1 Normalized notation
• 2 Engineering notation
• 3 Significant figures
  • 3.1 Estimated final digit(s)
• 4 E-notation
  • 4.1 Examples and other notations
• 5 Order of magnitude
• 6 Use of spaces
• 7 Further examples of scientific notation
• 8 Converting numbers
  • 8.1 Decimal to scientific
  • 8.2 Scientific to decimal
  • 8.3 Exponential
• 9 Basic operations
• 10 Other bases
• 11 See also
• 12 External links

Normalized notation

Main article: Normalized number

Any given integer can be written in the form m × 10ⁿ in many ways: for example, 350 can be written as 3.5 × 10² or 35 × 10¹ or 350 × 10⁰.

어떤 정수 하나가 있다고 했을 때, 그 정수는 m × 10ⁿ 형식 안에서 여러 가지 형태로 표시할 수 있다.
예를 들어, 350은 3.5 × 10²이나 35 × 10¹ 또는 350 × 10⁰과 같이 표시할 수 있다.

In normalized scientific notation (called "standard form" in the UK), the exponent n is chosen so that the absolute value of m remains at least one but less than ten (1 ≤ |m| < 10). Thus 350 is written as 3.5 × 10². This form allows easy comparison of numbers, as the exponent n gives the number's order of magnitude. In normalized notation, the exponent n is negative for a number with absolute value between 0 and 1 (e.g. 0.5 is written as 5 × 10⁻¹). The 10 and exponent are often omitted when the exponent is 0.

(영국에서는 "표준 형식"이라고 부르는) 정규화된 과학적 표기법에서
지수 n은 m의 절대값이 1이상 10미만이 되도록 선택된다( 1 ≤ | m | <10 ). 따라서 350은 3.5 × 10²으로 표시된다.
이러한 형식은 지수 n이 그 수의 차수를 제공하므로 숫자들을 쉽게 비교할 수 있다.
정규화된 표기법에서, 절대값이 0과 1 사이인 숫자에 있어서는 지수 n은 음수가 된다. (예: 0.5는 5 × 10⁻¹으로 표시됨)
지수가 0일 경우, 10과 지수는 생략되기도 한다.

Normalized scientific form is the typical form of expression of large numbers in many fields, unless an unnormalized form, such as engineering notation, is desired. Normalized scientific notation is often called exponential notation—although the latter term is more general and also applies when m is not restricted to the range 1 to 10 (as in engineering notation for instance) and to bases other than 10 (as in 3.15 × 2²⁰).

정규화된 과학적인 형식은
공학 표기법(engineering notation)처럼 정규화되지 않은 형식은 필요없는, 다양한 분야에서
큰 수를 표현하는 일반적인 형식이다.
정규화된 과학적 표기법은 일반적으로 "지수 표기법"이라고 더 많이 불려지며,
(공학 표기법에서와 같이) m의 범위가 1부터 10까지로 제한되지 않은 경우나
(3.15 × 2²⁰과 같이) 밑수가 10이 아닐 때에도 적용된다.

Engineering notation

Main article: Engineering notation

Engineering notation (often named "ENG" display mode on scientific calculators) differs from normalized scientific notation in that the exponent n is restricted to multiples of 3.
Consequently, the absolute value of m is in the range 1 ≤ |m| < 1000, rather than 1 ≤ |m| < 10. Though similar in concept, engineering notation is rarely called scientific notation. Engineering notation allows the numbers to explicitly match their corresponding SI prefixes, which facilitates reading and oral communication.
For example, 12.5 × 10⁻⁹ m can be read as "twelve-point-five nanometers" and written as 12.5 nm, while its scientific notation equivalent 1.25 × 10⁻⁸ m would likely be read out as "one-point-two-five times ten-to-the-negative-eight meters".

(공학 계산기에서 "ENG" 모드라고 부르는) 공학 표기법은 지수 n이 3의 배수로 제한된다는 점에서 정규화된 과학 표기법과는 다르다.
따라서 m의 절대값의 범위는 1 ≤ |m| < 10이 아니라, 1 ≤ |m| < 1000이 된다.
개념은 비슷하지만 공학 표기법은 과학 표기법이라고 할 수 없다.
공학 표기법을 사용하면 숫자가 해당 SI 접두어와 정확히 일치하므로 숫자를 읽고 말하기가 쉬워진다.
예를 들어, 12.5 × 10⁻⁹ m 의 경우, 광학 표기법에서는 "12점 5 나노미터"라고 읽고 12.5 nm이라 쓰게 되지만
과학 표기법에서는 1.25 × 10⁻⁸ m 이라고 쓰게 되며, "1점 25 곱하기 10의 마이너스 8승 미터"라고 읽는다.

Significant figures

Main article: Significant figures

A significant figure is a digit in a number that adds to its precision. This includes all nonzero numbers, zeroes between significant digits, and zeroes indicated to be significant. Leading and trailing zeroes are not significant because they exist only to show the scale of the number. Therefore, 1,230,400 usually has five significant figures: 1, 2, 3, 0, and 4; the final two zeroes serve only as placeholders and add no precision to the original number.

유효 숫자는 그 수의 정밀도를 좀 더 높여주는 자릿수를 나타낸다.
여기에는 어떤 특정한 의미를 나타내는 0과 유효 자릿수 안에 들어있는 0, 그리고 0이 아닌 숫자들이 포함된다.
앞뒤에 있는 0은 단지 그 숫자의 자릿수를 보여주기 위한 용도이기 때문에 중요하지 않다.
따라서 1,230,400에서 유효 숫자는 보통 1, 2, 3, 0, 4이며 총 5개이다.
맨 끝에 있는 두 개의 0은 단지 (자릿수 표시 용도인) 자리 표시자로 사용된 것일 뿐, 원래 숫자를 정밀하게 만들어 주지는 않는다.

When a number is converted into normalized scientific notation, it is scaled down to a number between 1 and 10. All of the significant digits remain, but the place holding zeroes are no longer required. Thus 1,230,400 would become 1.2304 × 10⁶. However, there is also the possibility that the number may be known to six or more significant figures, in which case the number would be shown as (for instance) 1.23040 × 10⁶. Thus, an additional advantage of scientific notation is that the number of significant figures is clearer.

숫자가 정규화된 과학 표기법으로 변환되면 그 수는 1에서 10 사이의 숫자로 축소된다.
유효 자릿수는 모두 그대로 유지되지만 자리 표시용 0은 더이상 필요하지 않는다.
따라서 1,230,400은 1.2304 × 10⁶으로 변환될 것이다.
하지만, 그 숫자를 6개 이상의 유효 숫자로 표시하는 것도 가능하기에, 이 경우 숫자는 1.23040 × 10⁶으로 보여질 것이다.
그러므로 과학 표기법의 또 다른 장점은 유효 숫자의 갯수가 좀 더 명확해진다는 것이다.

Estimated final digit(s)

It is customary in scientific measurements to record all the definitely known digits from the measurements, and to estimate at least one additional digit if there is any information at all available to enable the observer to make an estimate. The resulting number contains more information than it would without that extra digit(s), and it (or they) may be considered a significant digit because it conveys some information leading to greater precision in measurements and in aggregations of measurements (adding them or multiplying them together).

(...정확한 번역이 필요한 부분...)

과학적인 측정에서는 일반적으로, 과학 표기용 측정기(observer)가 예측 가능한 정보가 조금이라도 있다면,
어림잡아 계산된 측정값들부터 파악된 자릿수를 모두 명확하게 기록한 후에
적어도 하나 이상의 추가적인 자릿수를 추측해낸다.
측정값과 그 측정값들을 더하거나 곱해서 나온 통계로부터, 보다 더 정확한 정밀도를 이끌어내는 정보들을 전달해주기 때문에 유효 숫자로 받아들여질 수 있다는 것과
초과된 자릿수가 없으리라는 것 외에도 더 많은 정보들이 산출된 숫자에 들어있다.

Additional information about precision can be conveyed through additional notations. It is often useful to know how exact the final digit(s) are.
For instance, the accepted value of the unit of elementary charge can properly be expressed as 1.602 176 6208(98) × 10⁻¹⁹ C, which is shorthand for (1.602 176 6208 ± 0.000 000 0098) × 10⁻¹⁹ C.

정밀도에 대한 추가 정보는 추가적인 표기법을 통해 전달될 수 있다.
최종 자릿수가 얼마나 더 정확한지를 파악해두면 좋다.
이를테면, (1.6021766208 ± 0.0000000098) × 10⁻¹⁹ C 이라는, 전하(정전기 양)의 기본 단위값을 1.6021766208(98) × 10⁻¹⁹ C 으로
적절하게 표시할 수 있다.

E-notation

Most calculators and many computer programs present very large and very small results in scientific notation, typically invoked by a key labelled EXP (for exponent), EEX (for enter exponent), EE, EX, E, or ×10^x depending on vendor and model.
Because superscripted exponents like 10⁷ cannot always be conveniently displayed, the letter E (or e) is often used to represent "times ten raised to the power of" (which would be written as "× 10ⁿ") and is followed by the value of the exponent; in other words, for any two real numbers m and n, the usage of "mEn" would indicate a value of m × 10ⁿ. In this usage the character e is not related to the mathematical constant e or the exponential function e^x (a confusion that is unlikely if scientific notation is represented by a capital E).
Although the E stands for exponent, the notation is usually referred to as (scientific) E-notation rather than (scientific) exponential notation. The use of E-notation facilitates data entry and readability in textual communication since it minimizes keystrokes, avoids reduced font sizes and provides a simpler and more concise display, but it is not encouraged in some publications.

대부분의 계산기와 컴퓨터 프로그램에서는 계산 결과가 너무 크거나 아주 작을 경우, 과학 표기법으로 그 결과를 표시하며,
일반적으로 업체나 모델에 따라 "EXP" 또는 "EEX", "EE", "EX", "E", "×10^x"과 같은 버튼을 누르면 실행된다.
10⁷과 같은 위첨자 모양의 지수로 표시되는 것이 항상 가능한 것은 아니기에,
"10의 거듭제곱을 곱해준다( × 10ⁿ )"는 의미의 E (또는 e)가 오고 그 뒤에 지수의 값이 붙여진 형태가 사용되기도 한다.
즉, 어떤 두 실수 m과 n이 있다고 했을 때, "mEn"은 m × 10ⁿ 의 값을 뜻한다.
여기서 소문자 e는 수학의 상수 e나 지수 함수 e^x와는 전혀 관련없는, 별개의 것이다.
소문자가 아닌, 대문자 E로 표시한다면 이런 혼동은 없을 것이다.
E가 지수를 의미하기는 하나, 지수 표기법이라 하지 않고, E-표기법이라고 부른다.
E-표기법을 사용하게 되면 텍스트 통신에서 데이터의 입력 및 판독이 보다 더 쉬워진다.
그 이유는 키버튼 입력을 최소화하고, 글자 크기의 축소를 막아주며, 더 간결하고 단순하게 화면에 표시해주기 때문이다.
그러나 일부 간행물(게시물)에서는 권장되지 않는다.

Examples and other notations

• In most popular programming languages, 6.022E23 (or 6.022e23) is equivalent to 6.022 × 10²³, and 1.6 × 10⁻³⁵ would be written 1.6E-35 (e.g. Ada, Analytica, C/C++, FORTRAN (since FORTRAN II as of 1958), MATLAB, Scilab, Perl, Java, Python, Lua, JavaScript, and others).

  에이다, Analytica, C/C++, 포트란 (1958년 버전인 FORTRAN II 이후부터), 매트랩(MATLAB), Scilab, 펄, 자바, 파이썬, 루아, 자바스크립트 등등, 대부분의 유명한 프로그래밍 언어에서는, 6.022E23은 6.022 × 10²³과 같으며 1.6E-35는 1.6 × 10⁻³⁵와 같다.

• After the introduction of the first pocket calculators supporting scientific notation in 1972 (HP-35, SR-10) the term decapower was sometimes used in the emerging user communities for the power-of-ten multiplier in order to better distinguish it from "normal" exponents. Likewise, the letter "D" was used in typewritten numbers. This notation was proposed by Jim Davidson and published in the January 1976 issue of Richard J. Nelson's Hewlett-Packard newsletter 65 Notes for HP-65 users, and it was adopted and carried over into the Texas Instruments community by Richard C. Vanderburgh, the editor of the 52-Notes newsletter for SR-52 users in November 1976.

  1972년에 최초로 과학 표기법을 지원하는 소형 계산기(HP-35, SR-10)가 발표 된 후, 그 당시 사용자들 사이에서는, 일반적인 지수(normal exponents)와 구별짓기 위해 10의 배수라는 의미로 "decapower"라는 신조어가 사용되기도 하였으며, 타이핑한(타자기로 친) 숫자들을 가리키는 말로 문자 "D"를 쓰기도 하였다. 이 표기법은 짐 데이비슨이 제안한 것으로, 편집장 리처드 넬슨에 의해 HP-65 사용자를 위한 휴렛 팩커드 소식지인 "65 Notes"의 1976년 1월호에 실렸으며 1976년 11월, SR-52 사용자를 위한 소식지 "52-Notes"의 편집장 리처드 밴더버그에 의해 텍사스 인스트루먼트社로 이월되었다.

  ※ dec(a)-
  10배를 의미하는 접두어. ex) decimal(10진법의), decemviri(10인관), decade(10년), decagon(10각형)

• FORTRAN (at least since FORTRAN IV as of 1961) also uses "D" to signify double precision numbers.

  또한, FORTRAN (FORTRAN IV의 1961년 이후 버전) 부터는 배정밀도(2배 정밀도) 숫자를 나타내는 데에 "D"를 사용하였다.

• Similar, a "D" was used by Sharp pocket computers PC-1280, PC-1470U, PC-1475, PC-1480U, PC-1490U, PC-1490UII, PC-E500, PC-E500S, PC-E550, PC-E650 and PC-U6000 to indicate 20-digit double-precision numbers in BASIC between 1987 and 1995.

  그와 비슷하게, 샤프 포켓 컴퓨터인 PC-1280과 PC-1470U, PC-1475, PC-1480U, PC-1490U, PC-1490UII, PC-E500, PC-E500S, PC-E550, PC-E650, PC-U6000에서는
  1987년부터 1995년까지, 베이직에서 스무 자리의 배정밀도 숫자를 표시하는 데에 "D"가 사용되었다.

• The ALGOL 60 (1960) programming language uses a subscript ten "₁₀" character instead of the letter E, for example: 6.0221023.

  알골 60(1960) 이라는 프로그래밍 언어에서는 "E" 대신에 아래첨자 "10"을 사용한다. 예) 6.022₁₀23.

• The use of the "₁₀" in the various Algol standards provided a challenge on some computer systems that did not provide such a "₁₀" character. As a consequence Stanford University Algol-W required the use of a single quote, e.g. 6.02486'+23, and some Soviet Algol variants allowed the use of the Cyrillic character "ю" character, e.g. 6.022ю+23.

  다양한 버전의 표준 알골에서
  "₁₀"과 같은 문자가 적용되지 않는 몇몇 컴퓨터에서 "₁₀"을 사용한다는 문제가 제기되었다.
  결국 스탠퍼드 대학의 Algol-W에서는 6.02486'+23과 같이 작은 따옴표를 사용해야 했으며,
  소련의 몇몇 변형된 버전에서는 6.022ю+23과 같이 키릴 문자인 "ю"이 사용되었다.

• Subsequently the ALGOL 68 programming language provided the choice of 4 characters: E, e, \, or ₁₀. By examples: 6.022E23, 6.022e23, 6.022\23 or 6.0221023.

  이후, 알골 68의 프로그래밍 언어에서는 네 개의 문자 중에서 하나를 선택해서 사용할 수 있게 되었다.
  예) 6.022E23 , 6.022e23 , 6.022\23 , 6.022₁₀23

• Decimal Exponent Symbol is part of the Unicode Standard, e.g. 6.022⏨23. It is included as U+23E8 ⏨ DECIMAL EXPONENT SYMBOL to accommodate usage in the programming languages Algol 60 and Algol 68.

  십진수의 지수 기호(Decimal Exponent Symbol)는 표준 유니 코드에 들어있으며,
  알골 60과 알골 68에서 사용할 수 있도록 U+23E8(⏨ DECIMAL EXPONENT SYMBOL)에 지정되었다.

  ※ 위의 내용에서 6.0221023 부분이 6.022☐23처럼 보인다면,
  위키피디어의 원본 페이지에 링크되어 있는 "Decimal Exponent Symbol U+23E8 TTF" 파일을 다운받아서 본인의 컴퓨터에 설치한다면,
  제대로 표시가 될 것입니다.

• The TI-83 series and TI-84 Plus series of calculators use a stylized E character to display decimal exponent and the 10 character to denote an equivalent ×10^ operator.

  계산기인 TI-83 시리즈와 TI-84 Plus 시리즈에서는
  십진수의 지수(decimal exponent)는 크기가 작은 모양의 E로 표시되며, "× 10^"에 해당하는 연산자는 작은 크기의 10으로 표시된다.

• The Simula programming language requires the use of & (or && for long), for example: 6.022&23 (or 6.022&&23).

  "시뮬라"이라는 프로그래밍 언어에서는 & 또는, 부동 소수점 숫자(long)일 경우 &&을 사용해야 한다.
  예) 6.022&23 , 6.022&&23

• The Wolfram Language (utilized in Mathematica) allows a shorthand notation of 6.022*^23.

  (매스매티카 소프트웨어에서 사용되는) 볼프람 언어(Wolfram Language)에서는 간단하게 줄여서 "6.022*^23" 형태로 작성할 수 있다.

Order of magnitude

Main article: Order of magnitude

Scientific notation also enables simpler order-of-magnitude comparisons.
A proton's mass is 0.0000000000000000000000000016726 kg. If written as 1.6726 × 10⁻²⁷ kg, it is easier to compare this mass with that of an electron, given below. The order of magnitude of the ratio of the masses can be obtained by comparing the exponents instead of the more error-prone task of counting the leading zeros. In this case, −27 is larger than −31 and therefore the proton is roughly four orders of magnitude (10,000 times) more massive than the electron.

과학 표기법을 사용하면 자릿수를 쉽게 비교할 수 있다.
양성자의 질량인 0.0000000000000000000000000016726 kg을 간단히 1.6726 ×10⁻²⁷ kg 으로 표현함으로써,
아래에 주어진 전자의 질량과 비교하기가 쉬워진다.
두 수에 들어있는 0의 갯수를 하나하나 확인하는 작업은 실수하기가 쉽지만,
과학 표기법을 이용하여 그 지수들만을 비교함으로써 그 차이를 쉽게 구할 수 있다.
양성자와 전자에서, −27은 −31보다 크기 때문에 양성자는 전자보다 대략 네 자릿수만큼(10,000 배만큼) 더 크다고 할 수 있다.

Scientific notation also avoids misunderstandings due to regional differences in certain quantifiers, such as billion, which might indicate either 10⁹ or 10¹².

과학 표기법은 또한, 어떤 수를 표현함에 있어서, 언어의 차이에서 발생하는 오해를 피할 수 있다.
billion의 경우, 나라에 따라서 10억(10⁹)을 의미하기도 하며, 1조(10¹²)를 뜻하기도 한다.

In physics and astrophysics, the number of orders of magnitude between two numbers is sometimes referred to as "dex", a contraction of "decimal exponent". For instance, if two numbers are within 1 dex of each other, then the ratio of the larger to the smaller number is less than 10. Fractional values can be used, so if within 0.5 dex, the ratio is less than 10^0.5, and so on.

일반 물리학과 천체 물리학에서는 두 숫자 사이에서의 자릿수의 개수를, "decimal exponent"의 줄임말인 "dex"이라고 칭하기도 한다.
예를 들어, 두 숫자가 각각 1 dex 이내에 있다고 하면, 이는 작은 수와 큰 수 사이의 비율이 10보다 작다는 뜻이다.
소수점이 포함된 소수도 사용 가능하기에, 0.5 dex 이내라고 한다면, 10^0.5보다 작다고 할 수 있다.

Use of spaces

In normalized scientific notation, in E-notation, and in engineering notation, the space (which in typesetting may be represented by a normal width space or a thin space) that is allowed only before and after "×" or in front of "E" is sometimes omitted, though it is less common to do so before the alphabetical character.

E-표기법과 공학 표기법에서는,
정규화된 과학 표기법에서 빈칸(조판에서 표준 간격 또는 좁은 간격으로 표시되는 공백 문자) 즉, 띄어쓰기는 "×"의 바로 앞과 뒤에만 허용되며,
알파벳 문자 앞쪽에서 생략하는 것이 흔하지는 않지만, "E"의 앞쪽에서 생략하기도 한다.

Further examples of scientific notation

• An electron's mass is about 0.000000000000000000000000000000910938356 kg.
  In scientific notation, this is written 9.10938356 × 10⁻³¹ kg (in SI units).

  전자의 질량은 약 0.000000000000000000000000000000910938356 kg이며,
  과학 표기법으로, 9.10938356 × 10⁻³¹ kg 이라 쓰며, 이것이 전자의 질량에 대한 국제 표준 단위이다.

• The Earth's mass is about 5972400000000000000000000 kg. In scientific notation, this is written 5.9724 × 10²⁴ kg.

  지구의 질량은 대략 5972400000000000000000000 kg 이며, 과학 표기법으로는 5.9724 × 10²⁴ kg 이라고 쓴다.

• The Earth's circumference is approximately 40000000 m. In scientific notation, this is 4 × 10⁷ m. In engineering notation, this is written 40 × 10⁶ m. In SI writing style, this may be written "40 Mm" (40 megameters).

  지구의 원둘레(원주)는 대략 40000000 m 이며
  과학 표기법으로는 4 × 10⁷ m 이고, 공학 표기법으로는 40 × 10⁶ m 이다. SI 표기 방식으로는 "40 Mm" (40 메가미터)가 될 것이다.

• An inch is defined as exactly 25.4 mm. Quoting a value of 25.400 mm shows that the value is correct to the nearest micrometer. An approximated value with only two significant digits would be 2.5 × 10¹ mm instead. As there is no limit to the number of significant digits, the length of an inch could, if required, be written as (say) 2.54000000000 × 10¹ mm instead.

  1인치는 정확히 25.4 mm 이다.
  Quoting a value of 25.400 mm shows that the value is correct to the nearest micrometer.
  25.400 mm 는 가장 근접한 마이크로미터 값을 보여준다??
  두 개의 유효 숫자만 있는 근사치는 2.5 × 10¹ mm 이다.
  유효 숫자의 개수에는 따로 제한이 없으므로,
  필요하다면 2.54000000000 × 10¹ mm 로도 표시할 수 있다.

Converting numbers

Converting a number in these cases means to either convert the number into scientific notation form, convert it back into decimal form or to change the exponent part of the equation. None of these alter the actual number, only how it's expressed.

여기에서 숫자를 변환한다는 것(Converting a number)은 숫자를 과학 표기법 형식으로 바꾸거나,
반대로, 수식의 지수 부분을 변경하기 위해서 과학 표기법을 십진수 형태로 바꿔주는 것을 말한다.
양쪽 다 그 표현법만 변경될 뿐이지, 숫자 자체가 바뀌지는 않는다.

Decimal to scientific

First, move the decimal separator point sufficient places, n, to put the number's value within a desired range, between 1 and 10 for normalized notation. If the decimal was moved to the left, append "× 10ⁿ"; to the right, "× 10⁻ⁿ". To represent the number 1,230,400 in normalized scientific notation, the decimal separator would be moved 6 digits to the left and "× 10⁶" appended, resulting in 1.2304 × 10⁶. The number −0.0040321 would have its decimal separator shifted 3 digits to the right instead of the left and yield −4.0321 × 10⁻³ as a result.

먼저, 정규화 표기법에 적합하도록, 1 ~ 10 사이의 원하는 범위 내에서 숫자 값을 표현하기 위해서는,
소수점을 (충분한) 자릿수 n 만큼 이동시킨다.
소수점이 왼쪽으로 이동했다면 "× 10ⁿ"을, 오른쪽으로 이동했다면 "× 10⁻ⁿ"을 덧붙인다.
정규화된 과학 표기법으로 1,230,400을 표현한다면,
소수점(decimal separator)이 왼쪽으로 6자리 이동하여 1.2304가 되고, "× 10⁶"이 그 뒤에 추가되어서, 1.2304 × 10⁶으로 표시된다.
숫자 −0.0040321에서 소수점은 왼쪽이 아닌, 오른쪽으로 3자리 이동하게 되고 그 결과, −4.0321 × 10⁻³으로 표시된다.

Scientific to decimal

Converting a number from scientific notation to decimal notation, first remove the × 10ⁿ on the end, then shift the decimal separator n digits to the right (positive n) or left (negative n). The number 1.2304 × 10⁶ would have its decimal separator shifted 6 digits to the right and become 1,230,400, while −4.0321 × 10⁻³ would have its decimal separator moved 3 digits to the left and be −0.0040321.

숫자를 과학 표기법에서 십진수 표기법으로 바꿔주려면 먼저, 끝에 있는 × 10ⁿ을 삭제한다.
그런 다음, 소수점을 자릿수 n만큼, n이 양수일 때에는 오른쪽으로, 음수일 때에는 왼쪽으로 이동시킨다.
숫자 1.2304 × 10⁶은 소수점이 오른쪽으로 6자리 이동하여 1,230,400이 되고,
반면에 숫자 −4.0321 × 10⁻³은 그 소수점이 왼쪽으로 3자리 이동하여 −0.0040321이 된다.

Exponential

Conversion between different scientific notation representations of the same number with different exponential values is achieved by performing opposite operations of multiplication or division by a power of ten on the significand and an subtraction or addition of one on the exponent part. The decimal separator in the significand is shifted x places to the left (or right) and x is added to (or subtracted from) the exponent, as shown below.

하나의 수에 대해서 서로 다른 지수 값으로 표현된 과학 표기법들 간의 변환은
유효 숫자에 10의 거듭제곱을 곱하거나, 유효 숫자를 10의 거듭제곱으로 나눠준 뒤, 지수 부분을 더하거나 빼주는 방식으로 계산된다.
유효 숫자에서의 소수점은, 지수에 더하거나 빼준 x 값만큼 왼쪽 혹은 오른쪽으로 이동하게 된다.

1.234 × 10³ = 12.34 × 10² = 123.4 × 10¹ = 1234

Basic operations

Given two numbers in scientific notation,

과학 표기법 형태의 x₀과 x₁이라는 두 수가 있다고 했을 때,

x₀ = m₀ × 10ⁿ⁰

and

x₁ = m₁ × 10ⁿ¹

Multiplication and division are performed using the rules for operation with exponentiation:

곱셈과 나눗셈은 지수의 연산 법칙(지수법칙)을 이용하여 계산한다.

x₀ × x₁ = ( m₀ × m₁ ) × 10ⁿ⁰⁺ⁿ¹

and

x₀ ÷ x₁ = ( m₀ ÷ m₁ ) × 10ⁿ⁰⁻ⁿ¹

Some examples are (아래는 예문들이다.):

5.67 × 10⁻⁵ × 2.34 × 10² ≈ 13.3 × 10⁻⁵⁺² = 13.3 × 10⁻³ = 1.33 × 10⁻²

and

( 2.34 × 10² ) ÷ ( 5.67 × 10⁻⁵ ) ≈ 0.413 × 10²⁻⁽⁻⁵⁾ = 0.413 × 10⁷ = 4.13 × 10⁶

Addition and subtraction require the numbers to be represented using the same exponential part, so that the significand can be simply added or subtracted:

덧셈과 뺄셈에서는, 두 수의 유효 숫자를 쉽게 계산할 수 있도록 먼저, 두 수의 지수 부분을 같아지도록 만든다.

x₀ = m₀ × 10ⁿ⁰ and x₁ = m₁ × 10ⁿ¹ with n₀ = n₁

Next, add or subtract the significands:

그 다음, 유효 숫자들끼리 더하거나 빼준다.

x₀ ± x₁ = ( m₀ ± m₁ ) × 10ⁿ⁰

An example:

2.34 × 10⁻⁵ + 5.67 × 10⁻⁶ = 2.34 × 10⁻⁵ + 0.567 × 10⁻⁵ = 2.907 × 10⁻⁵

Other bases

While base ten is normally used for scientific notation, powers of other bases can be used too, base 2 being the next most commonly used one.

과학 표기법에서는 대체로 10진수를 사용하지만, 다른 진수의 거듭제곱 또한 사용할 수 있기에,
10진수 다음으로 가장 많이 사용되는 것이 2진수이다.

For example, in base-2 scientific notation, the number 1001_b in binary (=9_d) is written as 1.001_b × 2_d^11_b or 1.001_b × 10_b^11_b using binary numbers (or shorter 1.001 × 10¹¹ if binary context is obvious).
In E-notation, this is written as 1.001_bE11_b (or shorter: 1.001E11) with the letter E now standing for "times two (10_b) to the power" here. In order to better distinguish this base-2 exponent from a base-10 exponent, a base-2 exponent is sometimes also indicated by using the letter B instead of E, a shorthand notation originally proposed by Bruce Alan Martin of Brookhaven National Laboratory in 1968, as in 1.001_bB11_b (or shorter: 1.001B11).
For comparison, the same number in decimal representation: 1.125 × 2³ (using decimal representation), or 1.125B3 (still using decimal representation).
Some calculators use a mixed representation for binary floating point numbers, where the exponent is displayed as decimal number even in binary mode, so the above becomes 1.001_b × 10_b^3_d or shorter 1.001B3.

예를 들어, 2진수의 과학 표기법에서
10진수 9에 해당하는 2진수 1001_b는, 2진수를 사용하여 1.001_b × 2_d^11_b 이나 1.001_b × 10_b^11_b 이라 쓸 수 있다.
(유효 숫자 부분인 1.001이 2진수임이 누구든지 알만큼 명백하다면, 간단하게 1.001 × 10¹¹이라 써도 된다.)
과학 표기법에서 그 수는 알파벳 E를 사용하여 1.001_bE11_b (또는 간단히 1.001E11)으로 표현되며,
여기서 E 는 "거듭제곱한 2를 곱한다"라는 뜻이다.
진수가 2진수인지 10진수인지를 좀 더 명확하게 구분할 수 있게, 2진수일 때에는 그 지수를 알파벳 E 대신에
1.001_bB11_b (또는 1.001B11)에서처럼 B를 사용하여 표현하기도 한다.
B 라는 기호는 1968년에 "브룩헤이븐 국립연구소"의 브루스 앨런 마틴이라는 사람이 제안한 것이다.
소수점이 사용된 똑같은 두 수의 비교: 1.125 × 2³ 또는 1.125B3 ( 양쪽 다 소수점이 사용됨).
일부 계산기에서는 2진수로 된 부동 소수점 수를 표시할 때에 2진수와 10진수가 혼합된 방식으로 표시되기도 하는데,
이때, 2진수 모드(binary mode)에서도 지수는 10진수로 표시되기 때문에 위의 숫자는 1.001_b × 10_b^3_d 이나 1.001B3으로 표시된다.

This is closely related to the base-2 floating-point representation commonly used in computer arithmetic, and the usage of IEC binary prefixes (e.g. 1B10 for 1×2¹⁰ (kibi), 1B20 for 1×2²⁰ (mebi), 1B30 for 1×2³⁰ (gibi), 1B40 for 1×2⁴⁰ (tebi)).

이는 컴퓨터 연산에서 흔히 사용되는 "2진수 부동 소수점 표현" 및
IEC의 2진 접두어인 kibi-, mebi-, gibi-, tebi- 등과 밀접하게 연관되어 있다.

Similar to B (or b), the letters H (or h) and O (or o, or C) are sometimes also used to indicate times 16 or 8 to the power as in 1.25 = 1.40_h × 10_h^0_h = 1.40H0 = 1.40h0, or 98000 = 2.7732_o × 10_o^5_o = 2.7732o5 = 2.7732C5.

거듭제곱한, 16이나 8을 곱해준다는 의미로, B의 사용법과 유사하게 알파벳 H와 O(또는 C)를 사용하기도 한다.
예) 1.25 = 1.40_h × 10_h^0_h = 1.40H0 = 1.40h0
98000 = 2.7732_o × 10_o^5_o = 2.7732o5 = 2.7732C5

Another similar convention to denote base-2 exponents is using a letter P (or p, for "power"). In this notation the significand is always meant to be hexadecimal, whereas the exponent is always meant to be decimal.
This notation can be produced by implementations of the printf family of functions following the C99 specification and (Single Unix Specification) IEEE Std 1003.1 POSIX standard, when using the %a or %A conversion specifiers. Starting with C++11, C++ I/O functions could parse and print the P-notation as well. Meanwhile, the notation has been fully adopted by the language standard since C++17. Apple's Swift supports it as well. It is also required by the IEEE 754-2008 binary floating-point standard. Example: 1.3DEp42 represents 1.3DE_h × 2⁴².

2진수의 지수를 표시하는, 또 다른 유사한 규칙으로는 P를 사용하는 것인데, 이 표기법에서 유효 문자는 16진수, 지수는 10진수로 정해져있다.
이 표기법은 C99 사양 규칙과 IEEE 표준 규격 1003.1(단일 유닉스 규격)인 POSIX에 따라,
변환 지정자(conversion specifier)인 %a 또는 %A를 사용하여, "printf" 계열 함수에 의해 실행시킬 수 있다.
C++ 11 버전부터, C++의 입출력 함수는 P-표기법을 읽어들이고 출력할 수 있게 되었다.
이 표기법은 C++ 17 이후에 표준 언어로 채택되었다. 애플용 프로그램 언어인 스위프트에서도 지원된다.
It is also required by the IEEE 754-2008 binary floating-point standard.
IEEE 754-2008 에서 2진 부동 소수점 수의 표준으로 채택하였다??
예) 1.3DEp42는 1.3DE_h × 2⁴²을 의미한다.

Engineering notation can be viewed as a base-1000 scientific notation.

공학 표기법은 1,000 진수 과학 표기법이라 할 수 있다.

See also

• Binary prefix
• Engineering notation
• Floating point arithmetic
• ISO 31-0
• ISO 31-11
• Significant figures
• Suzhou numerals are written with order of magnitude and unit of measurement below the significand
• Letter and digit code for resistance and capacitance values and tolerances

External links

• Decimal to Scientific Notation Converter (online)
• Scientific Notation to Decimal Converter (online)
• Scientific Notation Converter (downloadable)
• An exercise in converting to and from scientific notation
• Scientific Notation in Everyday Life
• Scientific Notation chapter from Lessons In Electric Circuits Vol 1 DC free ebook and Lessons In Electric Circuits series.

https://tonks.tistory.com/221#_Korean_translation_of_scientific_notation